Ayer fuí al cine con Lore a ver 21 Blackjack.
La verdad es que no teníamos muy claro que nos fuera a gustar, ya que no tenemos ni idea de Blackjack, pero la película acabó estando muy entretenida.
Pero dejando críticas cinematográficas a un lado, algo que nos tuvo charlando un rato después de ver la película fue uno de los problemas que se plantean en clase de uno de los protagonistas.
Es el problema de Monty Hall.
Premisa
Nos encontramos en un concurso televisivo, donde el concursante tiene que elegir entre una de las tres puertas que tiene delante suyo. Detrás de una hay un coche de premio, y detrás de las otras dos, cabras.
No me pregunteis porqué tienen que ser cabras. Si el problema original hablaba de cabras, pues cabras.
El caso es que el concursante elige una puerta, la que sea.
Una vez hecha esta elección, el presentador decide abrir una de las puertas restantes, tras la cual hay una cabra. Habiendo llegado a este punto, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar de puerta.
¿Debe hacerlo el concursante? O mejor dicho, ¿es mejor cambiar?
Solución
La respuesta es que sí, tendrá más posibilidades de conseguir el coche si cambia. Vamos a demostrarlo.
Empecemos por una explicación paso por paso, teniendo en cuenta las tres posibilidades.
- El concursante elige la puerta con coche. Por lo tanto, si decide cambiar, le tocará una fantástica cabra, sea cual sea la puerta que escoja en su nueva elección. Esto sólo se puede dar en un tercio de los casos.
- El concursante elige una puerta con cabra. Como el presentador está obligado a descubrir una puerta con cabra, está obligado a abrir la que le queda, por lo que deja sin abrir la del coche. Si el concursante decide cambiar, se lo lleva. Esto se dará en los dos posibles casos, ya que tenemos dos cabras.
Lo importante en este problema es entender que la elección que realice el jugador afectará a la puerta que abra el presentador. De esta forma, no se puede producir lo que se supone en un primer momento, y es que al quedar sólo dos puertas, ambas tendrán la misma probabilidad. El azar está en la primera elección del concursante, no en la del presentador.
Intentemos verlo de otra forma.
Cuando elegimos la puerta 1, tenemos 1/3 de posibilidades de conseguir el coche.
O lo que es lo mismo, en las otras dos están los 2/3 restantes.
Que nadie se mueva durante un momento.
El presentador abre la puerta 2, y está una cabra. Esa puerta tendrá una probabilidad de tener el coche de 0.
Si entre la puerta 2 y la 3 había una probabilidad de 2/3 de que existiera el coche, y la puerta 2 hemos dicho que tiene una probabilidad de 0, los 2/3 nos quedan en la otra.
Gráficamente queda más claro:
Recordad, la elección del presentador siempre viene condicionada.
vamos a intentar ponerlo un poco más claro.
Supongamos que el coche y las cabras se reparten de la siguiente manera:
Puerta 1. Coche
Puerta 2. Cabra
Puerta 3. Cabra
1º elegimos puerta 1. El presentador SIEMPRE abre una puerta con cabra, da igual lo que el concursante elija. En este caso abrirá la puerta 2 o 3.
Cambiamos y perdemos el coche
2º elegimos puerta 2. El presentador abre la otra puerta con la otra cabra, la puerta 3. Cambiamos a puerta 1 y ganamos.
3º elegimos puerta 3. El presentador abre la puerta 2. Cambiamos a la puerta 1 y ganamos.
De tres posibles elecciones iniciales, ganamos en dos si cambiamos.
¿qué pasa si no cambiamos? veamos:
1º elegimos puerta 1. El presentador abrirá la puerta 2 o 3.
Nos quedamos con la puerta 1 y ganamos el coche
2º elegimos puerta 2. El presentador abre la otra puerta con la otra cabra, la puerta 3. Nos quedamos con la 2 y ganamos una cabra
3º elegimos puerta 3. El presentador abre la puerta 2. Nosquedamos con la tres y perdemos el coche.
es decir, si no cambiamos, de tres elecciones iniciales solo ganamos el coche en una. O dicho de otra forma, al principio tenemos 1/3 de probabilidad de ganar el coche. Si no cambiamos, seguimos con la misma probabilidad. Si cambiamos, elevamos la probabilidad a 2/3. ¿no?
Efectivamente Ricardo, buena aportación!
Muy bueno… lo tendré en cuenta si me presento a algún concursillo de TV.
para mi hay que cambiar de puerta( ya q se cuenta con el 66.66 porciento de provabilidad de ganar) aunque esto siempre implica un 33.33 de perder…..
muy buena la resolucion.
Si tu objetivo es resolver un ejercicio de matematicas (probabilidades), la que has dado es la solucion correcta .
Si lo que quieres es ganar el coche en un concurso real,nada de esto es importante mientras exista una probabilidad (por muy pequeña que sea) de perder. no nos olvidemos que BEN consiguio el coche en una CLASSE.