Paradoja del cumpleaños

Y ahora nos vamos con una paradoja.

¿Para qué?

¡Para doja!

¡Ja!

…

(El autor pide disculpas públicamente por la vergüenza de chiste hecho con semejante bodrio de juego de palabras)

De mano de gaussianos, os traigo una curiosidad relacionada con la probabilidad y los cumpleaños, muy pero que muy interesante.

Vamos con el enunciado

Imaginemos que estamos en una reunión, ya sea familiar, de amigos, da igual, lo importante es que el grupo sea aleatorio. Digamos que somos 25 personas, para ser algo más concretos. ¿Cuál creéis que es la probabilidad de que en ese grupo de personas, haya dos que cumplan años el mismo día del mismo mes?

La respuesta rápida es que es pequeña, porque vemos muy poco probable que se coincida en el mismo día del mismo mes. Pero si nos vamos al enunciado, veremos que no es así:

En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0.507, es decir, hay un 50.7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.

¿Qué quiere decir esto? Que en una reunión de 23 o más personas, es más raro que no haya dos personas que coincidan en sus cumpleaños, que sí las haya.

Demuéstramelo, va…

Pues empecemos. Tendremos que tener en cuenta un grupo menor de 365 personas, ya que si superamos ese número, la probabilidad es 1, del 100% (seguro que alguien coincide, ya que no hay más días del año).

La idea será calcular no la probabilidad de que coincidamos, sino la de que no coincidamos (la llamaremos p, por no ir diciendo “probabilidad” todo el rato). Después haremos 1-p, y esa será la probabilidad de coincidencia.

Para los no iniciados, decir 1-p es lo mismo que decir “¿Si tengo un 20% de probabilidad de que me toque un premio, cuál es la probabilidad de que no me toque? Haríamos 1-0.2 (100% - 20%) y obtendríamos el 0.8 restante (80%).

- Cogemos a la primera persona. Cumple años un día cualquiera del año.

- Cogemos a la segunda. Existe una probabilidad de de que no coincidan en su cumpleaños (arriba los casos favorables, todos los días del año menos el del cumpleaños del primero; debajo los casos totales).

- Cogemos a un tercero. Para que no coincida ni con el primero ni con el segundo, por el mismo motivo que el anterior, tendrá la probabilidad de .

- Etc etc.

Como tenemos sucesos independientes, la probabilidad de que todos los casos anteriores se produzcan (ya que nadie puede coincidir), será el producto de probabilidades, que en el caso de n personas, será el siguiente:

O en factorial (aquí ya he perdido a todos los lectores de letras, si es que quedaba algún curioso):

Pues ya tenemos la fórmula general. Como habíamos dicho que lo que queríamos saber era cuándo había coincidencia, retocaremos la fórmula:

Y esta sí que es la fórmula final.

Sólo tendremos que sustituir n por el número de personas, y veremos la probabilidad de que una parejita coincida en sus cumpleaños. Algunos ejemplos:

- Con n = 25 personas, la probabilidad es de 0.5687, es decir, un 56.87%.

- Con n = 40, la probabilidad llega a 0.891232. ¡Esto quiere decir que hay casi un 90% de probabilidad de que alguien coincida!

 

Qué cosas tiene la probabilidad…